问题
解答题
| 已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）， 当x＜0时，f（x）＜0． （1）判断f（x）的单调性； （2）判断f（x）的奇偶性； （3）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，
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答案
（1）设x1＜x2则x1-x2＜0，
f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）＜f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（2）令x1=x2=0有f（0）=0
∴f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（3）假设存在实数m，由条件得f[cos2θ-（2+m）sinθ+3+2m]＞f（0）⇒cos2θ-（2+m）sinθ+3+2m＞0
令t=sinθt∈[0，1]有-t2-（2+m）t+4+2m＞0在[0，1]上恒成立
令g（t）=-t2-（2+m）t+4+2m则有
⇒m＞-1g(0)＞0 g(1)＞0