问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f(x)≤(
（1）求f（1）的值； （2）证明：a＞0、c＞0； （3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1． |
答案
（1）由条件可知x≤f(x)≤(
)2对任意实数x∈（0、2）恒成立，取x=1得1≤f（1）≤1，故f（1）=1．x+1 2
（2）由f（-1）=0得a-b+c=0，故b=
，a+c=1 2
，1 2
由对任意实数x，都有f（x）-x≥0得ax2+（b-1）x+c≥0，
所以
，即a＞0 △= (b-1)2 -4ac≤0
，即a＞0 △=
-4ac≤01 4 a＞0 ac≥ 1 16
故a＞0，c＞0
（3）由（2）可知f(x)=
x2+1 4
x+1 2
，g(x)=1 4
x2+1 4
x+1 2
-mx在[-1、1]单调，1 4
g′(x)=
x+1 2
-m≥0或≤0在[-1、1]上恒成立，1 2
所以m≤(
x+1 2
)min=0或m≥(1 2
x+1 2
)max=11 2