问题
解答题
设函数f（x）=
（1）求f（x）在[0，1]上的值域； （2）若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围． |
答案
（1）y=
=2x2+2x x2+1
=2+2(x2+1)+2x-2 x2+1
，2(x-1) x2+1
令x-1=t，则x=t+1，t∈[-1，0]，y=2+
，2t t2+2t+2
当t=0时，y=2；当t∈[-1，0），y=2+
，2 t+
+22 t
由对勾函数的单调性得y∈[0，2），故函数在[0，1]上的值域是[0，2]；
（2）f（x）的值域是[0，2]，要g（x0）=f（x1）成立，则[0，2]⊆{y|y=g（x），x∈[0，1]}
①当a=0时，x∈[0，1]，g（x）=5x∈[0，5]，符合题意；
②当a＞0时，函数g（x）的对称轴为x=-
＜0，故当x∈[0，1]时，函数为增函数，则g（x）的值域是[-2a，5-a]，由条件知[0，2]⊆[-2a，5-a]，∴5 2a
⇒0＜a≤3；a＞0 -2a≤0 5-a≥2
③当a＜0时，函数g（x）的对称轴为x=-
＞0．5 2a
当0＜-
＜1，即a＜-5 2a
时，g（x）的值域是[-2a，5 2
]或[5-a，-8a2-25 4a
]，-8a2-25 4a
由-2a＞0，5-a＞0知，此时不合题意；当-
≥1，即-5 2a
≤a＜0时，g（x）的值域是[-2a，5-a]，5 2
由[0，2]⊆[-2a，5-a]知，由-2a＞0知，此时不合题意．
综合①②③得0≤a≤3．