f（x）=

ax+1

x+2

=

a(x+2)+1-2a

x+2

=

1-2a

x+2

+a、

任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=

1-2a

x1+2

-

1-2a

x2+2

=

(1-2a)(x2-x1)

( x1+2)(x2+2)

．

∵函数f（x）=

ax+1

x+2

在区间（-2，+∞）上为增函数，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，

∵x₂-x₁＞0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，

∴1-2a＜0，a＞

1

2

，

即实数a的取值范围是（

1

2

，+∞）．