已知直线l：2xa+yb=2(a＞2，b＞1)与曲线x2+y2-2x-2y+1=

问题填空题

已知直线l：

=2(a＞2，b＞1)与曲线x²+y²-2x-2y+1=0相切且直线l交与x轴交于A点，交y轴于点B，则△AOB面积的最小值为______．

答案

将圆C的方程化为标准式方程得（x-1）²+（y-1）²=1，圆心C（1，1），半径r=1

∵直线l：

=2(a＞2，b＞1)，

∴A（a，0），B（0，2b），

圆心C（1，1）到直线AB的距离d=r=1即

|2b+a-2ab|

a2+4b2

=1，两边平方化简得（a-2）（b-1）=1；

由a＞2，b＞1，可设a-2=m＞0，b-1=n＞0，且mn=1，

所以S_△AOB=ab=（m+2）（n+1）=mn+m+2n+2≥mn+2

2mn

+2=3+2

，当且仅当m=n即a=b+1时取等号．

所以三角形AOB面积的最小值为3+2

故答案为：3+2