问题
解答题
| 已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足． （I）判断f（x）的单调性和奇偶性； （II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． |
答案
（I）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．（2分）
在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，
由题意知f（x1-x2）＜0，
则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）是增函数（6分）
（II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
]+f(3+2m)＞0，4 sinθ+cosθ
只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）4 sinθ+cosθ
又由f（x）为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
＞-3-2m（8分）4 sinθ+cosθ
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t2-1，∵θ∈[0，
]，∴t=π 2
sin(θ+2
)∈[1，π 4
]，2
原命题等价于t2-1-(m+2)t-
+3+2m＞0对t∈[1，4 t
]恒成立．（10分）2
∴(2-t)m＞2t-t2+
-2，4 t 即m＞
=t+t(2-t)+
(2-t)2 t 2-t 2 t 令g(t)=t+
，则g′(t)=1-2 t
，2 t2
当t∈[1，
]时，g′(t)＜0，2
故g(t)在[1，
]上为减函数，∴m＞3时，原命题成立．（12分）2