问题
解答题
| 方程x2-2x+1=0的根为x1=1，x2=1，则x1+x2=2，x1•x2=1． 方程x2+3x-4=0的根为x1=-4，x2=1，则x1+x2=-3，x1•x2=-4， 方程x2-x-1=0的根为x1=
（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？ （2）利用（1）的结论解决下列问题： 已知α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α2）（502+mβ+β2）的值． |
答案
（1）猜想：若方程x2+px+q=0（p、q是常数，x是未知数）有两个根x1、x2，则x1+x2=-p，x1•x2=q．理由如下：
∵方程x2+px+q=0的两实根是x1=
，x2=-p+ p2-4q 2
，-p- p2-4q 2
∴x1+x2=
+-p+ p2-4q 2
=-p- p2-4q 2
=-p，-2p 2
x1•x2=
•-p+ p2-4q 2
=-p- p2-4q 2
=q；p2-(p2-4q) 4
（2）∵α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，
∴α2+（m-2）α+502=0，β2+（m-2）β+502=0，
∴α2+mα=2α-502，β2+mβ=2β-502，
又由（1）知，α+β=2-m，αβ=502，
∴（502+mα+α2）（502+mβ+β2）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008．