（1）由f（1）=1，f（-2）=4．

得

a=b+1 -2a=4b-8

解得：

a=2 b=1

（3分）

（2）由（1）f(x)=

2x

x+1

，

所以|AP|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4(

x

x+1

)2，

令x+1=t，t＜0，

则|AP|2=(t-2)2+4(1-

1

t

)2=t2+

4

t2

-4(t+

2

t

)+8

=(t+

2

t

)2-4(t+

2

t

)+4=(t+

2

t

-2)2

因为x＜-1，所以t＜0，

所以，当t+

2

t

≤-2

2

，

所以|AP|2≥(-2

2

-2)2，（8分）

即AP的最小值是2

2

+2，此时t=-

2

，x=-

2

-1

点P的坐标是(-

2

-1，2+

2

)．（9分）

（3）问题即为

2x

x+1

≤

2m

(x+1)|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，

也就是x≤

m

|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，（10分）

要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．

法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为|x-m|≤

m

x

对x∈[1，2]恒成立，

即m-

m

x

≤x≤

m

x

+m对x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x²≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，

①当x=1时，

1

2

≤m＜1或m＞2，

②当x≠1时，m≥

x2

x+1

且m≤

x2

x-1

对x∈（1，2]恒成立，

对于m≥

x2

x+1

对x∈（1，2]恒成立，等价于m≥(

x2

x+1

)max，

令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t-1，t∈（2，3]，

x2

x+1

=

(t-1)2

t

=t+

1

t

-2，t∈（2，3]递增，

∴(

x2

x+1

)max=

4

3

，m≥

4

3

，结合0＜m＜1或m＞2，

∴m＞2

对于m≤

x2

x-1

对x∈（1，2]恒成立，等价于m≤(

x2

x-1

)min

令t=x-1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，

x2

x-1

=

(t+1)2

t

=t+

1

t

+2，t∈（0，1]递减，

∴(

x2

x-1

)min=4，

∴m≤4，

∴0＜m＜1或2＜m≤4，

综上：2＜m≤4（16分）

法二：问题即为

2x

x+1

≤

2m

(x+1)|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，

也就是x≤

m

|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，（10分）

要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．

故问题转化为x|x-m|≤m对x∈[1，2]恒成立，

令g（x）=x|x-m|

①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x-m）=x²-mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，

依题意g（2）≤m，m≥

4

3

，舍去；

②若m＞2，由于x∈[1，2]，故g(x)=x(m-x)=-(x-

m

2

)2+

m2

4

，

考虑到

m

2

＞1，再分两种情形：

（ⅰ）1＜

m

2

≤2，即2＜m≤4，g（x）的最大值是g(

m

2

)=

m2

4

，

依题意

m2

4

≤m，即m≤4，

∴2＜m≤4；

（ⅱ）

m

2

＞2，即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，

故g（2）≤m，

∴2（m-2）≤m，

∴m≤4，舍去．

综上可得，2＜m≤4（16分）