问题
解答题
已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0),边AB所在直线的方程为x-3y-6=0,点(-1,1)在边AD所在的直线上,
(1)求矩形ABCD的外接圆的方程;
(2)已知直线l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证:直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.
答案
(1)由lAB:x-3y-6=0且AD⊥AB,点(-1,1)在边AD所在的直线上
∴AD所在直线的方程是:y-1=-3(x+1)即3x+y+2=0
由
得A(0,-2)…(3分)x-3y-6=0 3x+y+2=0
∴|AP|=
=24+4 2
∴矩形ABCD的外接圆的方程是:(x-2)2+y2=8…(6分)
(2)直线l的方程可化为:k(-2x+y+4)+x+y-5=0l可看作是过直线-2x+y+4=0和x+y-5=0的交点(3,2)的直线系,即l恒过定点Q(3,2)
由于(3-2)2+22=5<8知点在圆内,
∴直线与圆恒有交点,
设PQ与l的夹角为θ,则d=|PQ|sinθ=
sinθ5
当θ=90°时,d最大,|MN|最短,
此时l的斜率为PQ斜率的负倒数-
,1 2
∴l:y-2=-
(x-3)1 2
即x+2y-7=0