已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x-3y-6=

问题解答题

已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，点（-1，1）在边AD所在的直线上，

（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；

（2）已知直线l：（1-2k）x+（1+k）y-5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．

答案

（1）由l_AB：x-3y-6=0且AD⊥AB，点（-1，1）在边AD所在的直线上

∴AD所在直线的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0

由

x-3y-6=0

3x+y+2=0

得A（0，-2）…（3分）

∴|AP|=

4+4

∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x-2）²+y²=8…（6分）

（2）直线l的方程可化为：k（-2x+y+4）+x+y-5=0l可看作是过直线-2x+y+4=0和x+y-5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）

由于（3-2）²+2²=5＜8知点在圆内，

∴直线与圆恒有交点，

设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=

sinθ

当θ=90°时，d最大，|MN|最短，

此时l的斜率为PQ斜率的负倒数-

，

∴l：y-2=-

（x-3）

即x+2y-7=0