（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立．

所以loga

mx+1

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0，

即

mx+1

-x-1

•

1-mx

x-1

=1，

即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．

所以m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．

（2）由（1）得f(x)=loga

1+x

x-1

，

设t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，

当x₁＞x₂＞1时，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，所以t₁＜t₂．

当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．所以当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．

同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（3）因为函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），

所以①：r＜a-2＜-1，0＜a＜1．

所以f（x）在（r，a-2）为增函数，要使值域为（1，+∞），

则

loga 1+r r-1 =1 a-2=-1

（无解）

②：1＜r＜a-2，所以a＞3．所以f（x）在（r，a-2）为减函数，要使f（x）的值域为（1，+∞），

则

r=1 loga a-1 a-3 =1

所以a=2+

3

，r=1．