在直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切．（Ⅰ）求圆

问题解答题

在直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆与直线x-

y=4相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P（x₀，y₀）满足|PO|²=|PA|•|PB|，求x02+y02的取值范围．

答案

（ I）由题意圆O的半径r 等于原点O到直线x-

y=4的距离，

即r=

1+3

=2，

∴圆的方程为x²+y²=4．

（ II）由x²=4，解得x=±2，不妨设A（-2，0），B（2，0）．

由|PO|²=|PA|•|PB|得

(x0+2)2+y02

•

(x0-2)2+y02

=x02+y02

整理得x02-y02=2．

令t=x02+y02=2y02+2=2(y02+1)；

∵点P（x₀，y₀）在圆O内，∴

x02+y02＜4

x02-y02=2

，由此得0≤y02＜1；

∴2≤2(y02+1)＜4，

∴t∈[2，4），∴(x02+y02)∈[2，4)．