问题 解答题

已知圆C:x2+y2=r2(r>0)经过点(1,).

(1)求圆C的方程;

(2)是否存在经过点(-1,1)的直线l,它与圆C相交于A,B两个不同点,且满足=+(O为坐标原点)关系的点M也在圆C上?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.

答案

(1)由圆C:x2+y2=r2,再由点(1,)在圆C上,得r2=12+()2=4

所以圆C的方程为

x2+y2=4;

(2)假设直线l存在,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

M(x0,y0)

①若直线l的斜率存在,设直线l的方程为:

y-1=k(x+1),

联立

消去y得,

(1+k2)x2+2k(k+1)x+k2+2k-3=0,

由韦达定理得x1+x2

=-=-2+,

x1x2==1+,

y1y2=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2=-3,

因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在圆C上,

因此,得x+y=4,

x+y=4,

由=+得x0

=,y0=,

由于点M也在圆C上,

22

=4,

整理得,+3+x1x2+y1y2=4,

即x1x2+y1y2=0,所以1++(-3)=0,

从而得,k2-2k+1=0,即k=1,因此,直线l的方程为

y-1=x+1,即x-y+2=0,

②若直线l的斜率不存在,

则A(-1,),B(-1,-),M

22

=4-≠4,

故点M不在圆上与题设矛盾

综上所知:k=1,直线方程为x-y+2=0

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