（1）由f(0)=1，f(

π

4

)=1得：

a+c=1 a+b=1

即b=c=1-a，所以f(x)=

2

(1-a)sin⁡(2x+

π

4

)+a．

因为a＜1，所以1-a＞0，所以当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

时，f（x）为增函数．

∴函数f（x）的单调增区间[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．（6分）

（2）x∈[0，

π

4

]，

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，即sin(2x+

π

4

)∈[

2

2

，1]．

当1-a＞0，即a＜1时f(x)max⁡=

2

(1-a)×

2

2

+a=2

2

-1，得a=-1；

当1-a＜0，即a＞1时，f(x)max⁡=

2

(1-a)×

2

2

+a=2

2

-1，无解；

当1-a=0，即a=1时

f(x)max=a=2 2 -1

，矛盾．

故f(x)=2

2

sin⁡(2x+

π

4

)-1，所以f(

π

24

)=2

2

×

3

2

-1=

6

-1．（12分）