问题
解答题
已知函数f(x)=1+
（I）求函数f（x）和g（x）的定义域； （II）函数f（x）和g（x）是否具有奇偶性，并说明理由； （III）证明函数g（x）在（-∞，0）上为增函数． |
答案
（I）g(x)=f(2|x|)=1+
，1 2|x|-1
∵2|x|-1≠0⇒x≠0又1-x≠0⇒x≠1
函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠1}
函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}…（5分）
（II）由f（x）的定义域为{x|x≠1}可知函数f（x）为非奇非偶函数，
又g(-x)=1+
=1+1 2|-x|-1
=g(x)，1 2|x|-1
且函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}的定义域关于原点对称，
∴g（x）为偶函数…（10分）
（III）设x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2
g(x1)-g(x2)=
-1 2|x1|-1
=1 2|x2|-1
，2|x2|-2|x1| (2|x1|-1)(2|x2|-1)
∵x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
∴|x1|＞|x2|＞0
所以2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，
2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0⇒g(x1)＜g(x2)
根据函数单调性的定义知 函数g（x）在（-∞，0）上为增函数…（15分）