问题
解答题
定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1．
（I）证明f（x）在R上是增函数；
（II）若f（3）=4，求函数f（x）在[1，3]上的值域．
答案
证明：（I）设x1、x2∈R，且x1＜x2，
f （x1）-f （x2）=f[x2+（x1-x2）]-f （x2）
=f （x1-x2）+f （x2）-1-f （x2）=f （x1-x2）-1，
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，
∵当x＜0时，f（x）＜1
∴f （x1）-f （x2）=f （x1-x2）-1＜0，
即f （x1）＜f （x2），
∴f （x）在R上是增函数；
（II）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2
∵f （x）在R上是增函数
∴函数f（x）在[1，3]上的值域为[2，4]．