问题 解答题
已知函数f(x)=3sin2x+2
3
sinxcosx+5cos2x
.   
(1)若f(α)=5,求tanα的值;
(2)设△ABC三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且
a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
c
2a-c
,求f(x)在(0,B]上的值域.
答案

(1)由f(α)=5,得3sin2α+2

3
sinαcosα+5cos2α=5.

3

1-cos2α
2
+
3
sin2α+5
1+cos2α
2
=5.

3
sin2α+cos2α=1,

3
sin2α=1-cos2α⇒2
3
sinαcosα=2sin2α
sinα=0或tanα=
3

tan∴tanα=0或tanα=

3
.(5分)

(2)由

2accosB
2abcosC
=
c
2a-c
,即
cosB
bcosC
=
1
2a-c
,得
cosB
sinBcosC
=
1
2sinA-sinC
,则cosB=
1
2
B=
π
3
,(8分)

f(x)=3sin2x+2

3
sinxcosx+5cos2x=
3
sin2x+cos2x+4
=2sin(2x+
π
6
)+4
(10分)

0<x≤

π
3
,则
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
,故5≤f(x)≤6,即值域是[5,6].(12分)

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