（本小题满分16分）

（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），

且f(x)=a-

2

2x+1

，

任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂

则f(x2)-f(x1)=a-

2

2x2+1

-a+

2

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

…（3分）

∵y=2^x在R上单调递增，且x₁＜x₂

∴0＜2x1＜2x2，2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，

∴f（x₂）-f（x₁）＞0，

即f（x₂）＞f（x₁），

∴f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）

（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），

即a-

2

2-x+1

+(a-

2

2x+1

)=0对任意实数x恒成立，

化简得2a-(

2•2x

2x+1

+

2

2x+1

)=0，

∴2a-2=0，即a=1，…（8分）

（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）

①由a=1得f(x)=1-

2

2x+1

，

∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，…（10分）

∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜1-

2

2x+1

＜1

故函数f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）

②由a=1，得f（x）＜f（2-x²），

∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，∴x＜2-x²，…（14分）

解得-2＜x＜1，

故x的取值范围为（-2，1）．…（16分）