∵

a

=(sinα，1-cosα)，

b

=(sinβ，1+cosβ)，

c

=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），

故有 |

a

|=

sin2α+(1-cosα)2

=

2(1-cosα)

=2sin

α

2

． |

b

|=

sin2β+(1+cosβ)2

=

2(1+cosβ)

=-2cos

β

2

．

又由两个向量的数量积的定义可得

a

•

c

=1-cosα=2sin2

α

2

，

b

•

c

=1+cosβ=2cos2

β

2

．

又 |

c

|=1，∴cosθ1=

a • c

| a |•| c |

=sin

α

2

，cosθ2=

b • c

| b |•| c |

=-cos

β

2

，

即cosθ1=cos(

π

2

-

α

2

)，cosθ2=cos(π-

β

2

)，

∵θ₁、θ₂∈（0，π），

π

2

-

α

2

∈(0，

π

2

)，π-

β

2

∈(0，

π

2

)，

∴θ1=

π

2

-

α

2

，θ2=π-

β

2

．

∵θ1-θ2=

π

3

，∴(

π

2

-

α

2

)-(π-

β

2

)=

π

3

，∴

α-β

2

=-

5π

6

，

∴tan

α-β

2

=tan(-

5π

6

)=tan

π

6

=

3

3

，

∴tan(α-β)=

2tan α-β 2

1-tan2 α-β 2

=

2× 3 3

1- 1 3

=

3

．