问题
解答题
（本小题满分12分）
已知：函数y＝f (x)的定义域为R，且对于任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，且当x＞0时，f (x)＜0恒成立．
证明：（1）函数y＝f (x)是R上的减函数．
（2）函数y＝f (x)是奇函数．
答案
（1）见解析；（2）见解析。
题目分析：（1）设x1＞x2，则x1－x2＞0，而f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，
所以f (x1)＝f (x1－x2＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＜f (x2)，
即f (x1)＜f (x2)，所以函数在R上是减函数． ……6分
（2）由f (a＋b)＝f (a)＋f (b)得：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即f (x)＋f (－x)＝f (0)，而f (0)＝0，
所以f (－x)＝－f (x)，即函数f (x)是奇函数． ……12分
点评：本题以抽象函数的单调性证明为载体考查了函数的奇偶性的定义，其中利用“凑配法”得到f（0）=0及f（-x）=-f（x）是解答的关键．