问题
问答题
(Ⅰ)设α1，α2，β1，β2均是三维列向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出；
(Ⅱ)当α1=
时，求所有既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出的向量．
答案
参考答案：
解析： (Ⅰ)4个三维向量α1，α2，β1，β2必线性相关，故知存在不全为零的常数k1，k2，λ1，λ2，使得
k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，即k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2．其中k1，k2不全为零(否则，由-λ1β1-λ2β2=0
λ1=λ2=0，这和k1，k2，λ1，λ2相矛盾)．
令ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2≠0，则ξ即为所求．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2．
得k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0．
解方程组可得方程通解为(k1，k2，λ1，λ2)=k(1，0，-5，-3)T，故所求向量为
ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2=
其中k为任意常数．