参考答案：[解] 由(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA，知A^TA是对称矩阵．
(Ⅰ) 如果s＞n，则齐次方程组Ax=0有非零解，设为x₀，那么[*]，x₀≠0．所以矩阵A^TA不正定．
(Ⅱ) 如果s=n，因为[*]，A是可逆矩阵，那么
B=A^TA=A^TEA．
即B与E合同．故矩阵B正定．
(Ⅲ) 如果s＜n，则因[*]可逆，知[*][*]线性无关，那么延伸后A的列向量仍线性无关．
从而，对任意x≠0，恒有Ax≠0，于是
x^T(A^TA)x=(Ax)^T(Ax)=‖Ax‖²＞0．
即矩阵A^TA正定．