问题 解答题
已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量
m
=(2a-c,b)
n
=(cosC,cosB)
,若
m
n

(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面积为
3
,求AC边的最小值,并指明此时三角形的形状.
答案

(1)

m
=(2a-c,b),
n
=(cosC,cosB),∵
m
n
,∴(2a-c)cosB=bcosC.

由正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

整理得:2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,

即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∵sinA>0,∴cosB=

1
2

∵0<B<π,∴B=

π
3
. …(6分)

(2)由已知得:S△ABC=

1
2
acsinB=
3
,B=
π
3
,∴ac=4.

由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当“a=c”时取等号.

∴AC的最小值为2,此时三角形为等边三角形.…(12分)

单项选择题
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