问题 解答题
已知函数f(x)=7
3
sinxcosx+7sin2x-
5
2
,x∈R.
(Ⅰ)若f(x)的单调区间(用开区间表示);
(Ⅱ)若f(
a
2
-
π
6
)=1+4
3
,f(
a
2
-
12
)=2,求sin(
a
2
-
π
3
)的值.
答案

(Ⅰ)由题意得:函数f(x)=7

3
sinxcosx+7sin2x-
5
2
=
7
3
2
sin2x+7×
1-cos2x
2
-
5
2
 

=7(

3
2
sin2x-
1
2
cos2x)+1=7sin(2x-
π
6
)+1.

令 2kπ-

π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,可得 kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,k∈z,

故函数的增区间为[kπ-

π
6
,kπ+
π
3
],k∈z.

令 2kπ+

π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
2
,k∈z,可得 kπ+
π
3
≤x≤kπ+
6
,k∈z,

故函数的减区间为[kπ+

π
3
≤x≤kπ+
6
],k∈z.

(Ⅱ)∵f(

a
2
-
π
6
)=1+4
3

∴7sin[2(

a
2
-
π
6
)-
π
6
]+1=7sin(a-
π
2
)+1=-7cosa+1=1+4
3

∴cosa=

-4
3
7

∵f(

a
2
-
12
)=2,∴7sin[2(
a
2
-
12
)-
π
6
]+1=7sin[a-π]+1=-7sina+1=2,

∴sina=-

1
7

故a为第三象限角,且 2kπ+π<a<2kπ+

4
,k∈z,故 kπ+
π
2
a
2
<kπ+
8
,k∈z.

故 

a
2
是第二或第四象限角.

当 

a
2
是第二象限角时,sin 
a
2
=
1-cosa
2
=
7+4
3
14
=
2+
3
14

cos 

a
2
=-
1+cosa
2
=-
7-4
3
14
=-
2-
3
14
. 

sin(

a
2
-
π
3
)=sin 
a
2
 cos
π
3
-cos
a
2
sin
π
3
=
2+
3
14
×
1
2
-( -
2-
3
14
)×
3
2
=
3
3
-1
2
14

当 

a
2
是第四象限角时,sin 
a
2
=-
1-cosa
2
=-
7+4
3
14
=-
2+
3
14

cos 

a
2
=
1+cosa
2
=
7-4
3
14
=
2-
3
14
. 

sin(

a
2
-
π
3
)=sin 
a
2
 cos
π
3
-cos
a
2
sin
π
3
=-
2+
3
14
×
1
2
-
2-
3
14
×
3
2
=
1-3
3
2
14

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