已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）

问题解答题

已知点列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）顺次为直线y=

上的点，点列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形A_nB_nA_n+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

答案

（1）依题意有yn=

，于是yn+1-yn=

．

所以数列{y_n}是等差数列．（4分）

（2）由题意得

xn+xn+1

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*） ①

所以又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）．②

由②-①得：x_n+2-x_n=2，所以x_n+2-x_n是常数．　　　　　　　（6分）

由x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差数列．x₁=a（0＜a＜1），x₂=2-a，那么得

x_2k-1=x₁+2（k-1）=2k+a-2，x_2k=x₂+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N^*）（8分）

故xn=

n+a-1	(n为奇数)
n-a	(n为偶数)

（10分）

（3）提出问题：若等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．

当n为奇数时，A_n（n+a-1，0），A_n+1（n+1-a，0），所以|A_nA_n+1|=2（1-a）；

当n为偶数时，A_n（n-a，0），A_n+1（n+a，0），所以|A_nA_n+1|=2a；

过B_n作x轴的垂线，垂足为C_n，则|BnCn|=

，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1为直角三角形，必须且只须：|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|．（13分）

当n为奇数时，有2(1-a)=2×

，即a=1-

①

∴当n=1 时，a=

；当 n=3 时，a=

，当n≥5，a＜0不合题意．（15分）

当n为偶数时，有2a=2×

，a=

，同理可求得

当n=2 时 a=

当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）

综上所述，使等腰三角形A_nB_nA_n+1中，有直角三角形，a的值为

或

．（18分）