已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足|PM|=2|PN|．（1）求动

问题解答题

已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足|

|=2|

|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点G（a，0）是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A、B两点，令f(a)=

•

，求f（a）的取值范围．

答案

（1）设P的坐标为（x，y），则

=(4-x，-y)，

=(1-x，-y)

∵动点P满足|

|=2|

|，

∴

(4-x)2+y2

(1-x)2+y2

，

整理得x²+y²=4；

（2）①当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=a，不妨设A在B的上方，直线方程与x²+y²=4联立，可得A（a，

4-a2

），B（a，-

4-a2

），

∴f(a)=

•

=（0，

4-a2

）•（0，-

4-a2

）=a²-4；

②当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x-a），

代入x²+y²=4，整理可得（1+k²）x²-2ak²x+（k²a²-4）=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2ak2

1+k2

，x₁x₂=

k2a2-4

1+k2

∴f(a)=

•

=（x₁-a，y₁）•（x₂-a，y₂）=x1x2-a(x1+x2)+k2(x1-a)(x2-a)=a²-4，

由①②得f（a）=a²-4，

∵点G（a，0）是轨迹C内部一点，

∴-2＜a＜2，∴0≤a²＜4，∴-4≤a²-4＜0，

∴f（a）的取值范围是[-4，0）．