问题
解答题
| 已知函数f（x）=sin2x+2cos2x-1． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[
|
答案
（Ⅰ）∵2cos2x-1=cos2x，f（x）=sin2x+2cos2x-1，
∴f（x）=sin2x+cos2x=
sin(2x+2
)．…..（3分）π 4
因此，函数的周期T=ω=
=π．…..（5分）2π 2
又∵-1≤sin(2x+
)≤1，π 4
∴-
≤f(x)≤2
，当2x+2
=π 4
+2kπ时，即x=π 2
+kπ（k∈Z）时，函数的最大值为π 8
．2
综上所述，函数f（x）的最小正周期是π；最大值是
．…..（7分）2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=
sin(2x+2
)．π 4
∵
≤x≤π 4
，得3π 4
≤2x+3π 4
≤π 4
．7π 4
∴-
≤2
sin(2x+2
)≤π 4
×2
=12 2
当2x+
=π 4
时，即x=3π 4
时，函数f（x）有最大值是1；π 4
当2x+
=π 4
时，即x=3π 2
时，函数f（x）有最小值是-5π 8
．2
综上所述，函数f（x）在区间[
，π 4
]上的最大值是1，最小值是-3π 4
．…..（13分）2