问题
问答题
设A为m×n矩阵，且r(A)=r(
)=r＜n，其中
=(A
b)．
1.证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解；
答案
参考答案：令ζ1，ζ2，…，ζn-1…为AX=0的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0，β1=ζ1+η0…，βn-r=ζn-r+η0为AX=b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即
k1ζ1+k2ζ2+…+kn-r+ζn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0．
上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ζ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn，为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…βn-r，线性无关．
若γ0，γ1，…，γn-r+1为AX=b的线性无关解，则ζ1=γ1-γ0，…，ζn-r+1-γ0为AX=0的解，令k1ζ1+k2ζ2+…+kn-r+1ζn-r+1=0，则
k1γ1+k2γ2γ2+…+kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．
因为γ0，γ1，…，γn-r+1，线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ζ1，ζ2，…，ζn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．