问题
解答题
在△ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2A=
（1）求cos（A+C）的值； （2）若a-c=
（3）已知tan（α+A+C）=2，求
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答案
（1）∵cos2A=2cos2A-1=
，且A为锐角3 5
∴cosA=
，sinA=2 5 5
=1-cos2A 5 5
∵sinC=
，且C为锐角10 10
∴cosC=
=1-sin2C 3 10 10
因此，cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=
•2 5 5
-3 10 10
•5 5
=10 10 2 2
（2）∵cos（A+C）=
，0＜A+C＜π，∴A+C=2 2
，得B=π-π 4
=π 4
，sinB=3π 4 2 2
∵sinA=
，sinB=5 5
，sinC=2 2
，10 10
∴sinA：sinB：sinC=2
：55
：2 10
由正弦定理，得a：b：c=2
：55
：2
，设a=210
x，得b=55
x，c=2
x10
∵a-c=
-1，得22
x-5
x=10
-12
∴x=
，可得a=10 10
，b=2
，c=15
（3）由（2）知A+C=
，得tan（α+π 4
）=2π 4
∴
=2，解之得tanα=tanα+tan π 4 1-tanαtan π 4 1 3
所以
=1 2sinαcosα+cos2α
=cos2α+sin2α 2sinαcosα+cos2α
=1+tan2α 2tanα+1 2 3