问题
解答题
| 已知圆C：x2+（y-3）2=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N． （Ⅰ）当|PQ|=2
（Ⅱ）探索
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答案
（Ⅰ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意．…（2分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0．
因为PQ=2
，所以CM=3
=1．则由CM=4-3
=1，得k=|-k+3| k2+1
．∴直线l：4x-3y+4=0．4 3
从而所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）因为CM⊥MN，∴
•AM
=(AN
+AC
)•CM
=AN
•AC
+AN
•CM
=AN
•AC
．AN
①当l与x轴垂直时，易得N(-1， -
)，则5 3
=(0，-AN
)．5 3
又
=(1，3)，∴AC
•AM
=AN
•AC
=-5…（8分）AN
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由
，得N（y=k(x+1) x+3y+6=0
，-3k-6 1+3k
）．-5k 1+3k
则
=(AN
，-5 1+3k
)．∴-5k 1+3k
•AM
=AN
•AC
=AN
+-5 1+3k
=-5．-15k 1+3k
综上，
•AM
与直线l的斜率无关，且AN
•AM
=-5．…（13分）AN