a=csinA，得到

a

c

=

sinA

sinC

=sinA．所以sinC=1，即C=90°．

所以c²=a²+b²．

(a+b)2

c2

=

a2+b2+ 2ab

a2+b2

=1+

2ab

a2+b2

=1+

2 a2+b2

ab

=1+

2

a b + b a

≤1+

2

2

=2

所以

a+b

c

得最大值为

2

故答案为

2

．