参考答案：方法一 向量组β₁，β₂，…，β_s可由α₁，α₂，…，α_s线性表示，因此秩
r(β₁，β₂，…，β_s)≤r(α₁，α₂，…，α_s)．
向量组β₁，β₂，…，β_s线性无关，r(β₁，β₂，…，β_s)=s故由
s=r(β₁，β₂，…，β_s)≤r(α₁，α₂，…，αs)≤s
得r(α₁，α₂，…，α_s)=s，所以α₁，α₂，…，α_s也线性无关．
设C_s×s为α₁，α₂，…，α_s线性表示β₁，β₂，…，β_s的表示矩阵，即
(β₁，β₂，…，β_s)=(α₁，α₂，…，α_s)C，
则由β₁，β₂，…，β_s线性无关可知矩阵C的秩r(C)=s，因此C为可逆矩阵，故
(α₁，α₂，…，αs)=(β₁，β₂，…，β_s)C^-1，
即α₁，α₂，…，α_s可由β₁，β₂，…，β_s线性表示，所以向量组α₁，α₂，…，α_s与β₁，β₂，…，β_s等价．
方法二 反证法．若向量组α₁，α₂，…，α_s不能由β₁，β₂，…，β_s线性表示，则存在α_j，使α_i不能由β₁，β₂，…，β_s线性表示，即向量组α_j，β₁，β₂，…，β_s线性无关．由题设可知，向量组α₁，α₂，…，α_s可线性表示α_j，β₁，β₂，…，β_s，因此有s≥s+1．这是一个不成立的不等式，所以α₁，α₂，…，α_s必可由β₁，β₂，…，β_s线性表示，故α₁，α₂，…，α_s与β₁，β₂，…，β_s等价．