A、小鸟受到的重力与小鸟对树枝的压力，这两个力的方向相同且作用在两个物体上，不符合二力平衡条件，故A不正确；

B、小鸟对树枝的压力与树枝对小鸟的支持力，这两个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在两个物体上，是一对相互作用力，故B不正确；

C、小鸟受到的重力与树枝对小鸟的支持力，这两个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上、作用在同一个物体上，符合二力平衡条件，是一对平衡力，故C正确；

D、小鸟受到的重力与树枝受到的重力，两个力大小不一定相等，且方向相同、作用在两个物体上，不符合二力平衡条件，故D不正确．

故选C．