问题 解答题
已知p:f'(x)是f(x)=
1
3
x3-x2-35x+7
的导函数,且f'(a)<0;q:集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={ x|x>0},且A∩B=∅.求实数a的取值范围,使“p或q”为真命题,“p且q”为假命题.
答案

先考虑p:∵f(x)=

1
3
x3-x2-35x+7,

∴f'(x)=x2-2x-35,可得f'(a)=a2-2a-35<0,解得:-5<a<7.

再考虑q:①当△<0时,A=Φ,A∩B=Φ,

此时由(a+2)2-4<0得-4<a<0; ②当△≥0时,

由A∩B=Φ可得:

△=(a+2)2-4≥0
x1+x2=-(a+2)<0
x1x2=1>0
,解得a≥0.由①②可知a>-4.(9分)

要使p真q假,则

-5<a<7
a≤-4
⇒-5<a≤-4;要使p假q真,则
a≤-5或a≥7
a>-4
⇒a≥7

综上所述,当a的范围是(-5,-4]∪[7,+∞)时,p、q中有且只有一个为真命题.(12分)

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