问题
填空题
| 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题： ①任意三次函数都关于点（-
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为麵y=f（x）的对称中心； ③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心； ④若函数g（x）=
其中正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）． |
答案
∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″(x)=6a×(-
)+2b=0，b 3a
∴任意三次函数都关于点（-
，f（-b 3a
））对称，即①正确；b 3a
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即②正确；
任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；
∵g（x）=
x3-1 3
x2-1 2
，5 12
∴g′（x）=x2-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=
，1 2
∵g（
）=1 2
×(1 3
)3-1 2
×(1 2
)2-1 2
=-5 12
，1 2
∴函数g（x）=
x3-1 3
x2-1 2
的对称中心是（5 12
，-1 2
），1 2
∴g（x）+（g（1-x）=-1，
∴g（
）+g（1 2012
）+g（2 2012
）+…+g（3 2012
）=-105.5，故④正确．2011 2012
故答案为：①②④．