问题
解答题
定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞）
（1）令函数f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））的图象为曲线c1，曲线c1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线c1的切线，切点为B（n，t）（n＞0）设曲线c1在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；
（2）当x，y∈N*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．
答案
（1）∵F（x，y）=（1+x）y
∴f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））=2log2（x2-4x+9）=x2-4x+9
故A（0，9）
f'（x）=2x-4，过O作C1的切线，切点为B（n，t）（n＞0），
∴
解得B（3，6）t=n2-4n+9
=2n-4t n
∴S=
(x2-4x+9-2x)dx=(∫ 30
x3-3x2+9x)1 3
=9| 30
（2）令h(x)=
(x≥1)h′(x)=ln(1+x) x
-ln(1+x)x 1+x x2
令P(x)=
-ln(1+x)(x＞0)∴P′(x)=x 1+x
-1 (1+x)2
=1 1+x
＜0-x (1+x)2
∴P（x）在[0，+∞）单调递减．
∴当x＞0时，有P（x）＜P（0），
∴当x≥1时有h'（x）＜0∴h（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴1≤x＜y时，有
＞ln(1+x) x ln(1+y) y
yln（1+x）＞xln（1+y）
∴（1+x）y＞（1+y）x
∴当x，y∈N*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）