若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实

问题解答题

若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．

（1）求F（x）=h（x）-φ（x）的极值；

（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵F（x）=f（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），

∴F′（x）=2x-

2(x2-e)

2(x +

)(x -

)

令F′（x）=0，得x=

，

当0＜x＜

时，F′（x）＜0，x＞

时，F′（x）＞0

故当x=

时，F（x）取到最小值，最小值是0

（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（

，e）处相交，

因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，

设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-

，即y=kx-k

由f（x）≥kx-k

+e（x∈R），可得x²-kx+k

-e≥0当x∈R恒成立，

则△=k²-4k

+4e=（k-2

）²≤0，

∴k=2

，此时直线方程为：y=2

x-e，

下面证明φ（x）≤2

x-e^{exx＞0时恒成立
令G（x）=2
e
x-e-φ（x）=2
ex-e-2elnx，
G′（x）=2
e
-
2e
x=（2
ex-2c）/x=2
e（x-
e）/x，
当x=
e
时，G′（X）=0，当0＜x＜
e时G′（x）＞0，
则当x=
e
时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2
e
x-e-g（x）≥0，则φ（x）≤2
ex-e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2
e
x-e}