问题
解答题
| 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-ax（a∈R）． （1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程； （2）a=3时，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间； （3）设an=1+
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答案
（1）f（x）=lnx，f′(x)=
，f'（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=1（x-1），即x-y-1=0．…（4分）1 x
（2）F（x）=lnx+x2-3x，F′(x)=
+2x-3=1 x
=2x2-3x+1 x
…（6分）(2x-1)(x-1) x
由F′(x)＞0⇒0＜x＜
或x＞1，F'（x）＜0⇒1 2
＜x＜1，…（8分）1 2
所以函数F（x）=f（x）+g（x）的单调增区间为(0，
)，(1，+∞)；减区间为(1 2
，1)…（9分）1 2
（3）由（2）知a=3时，F（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）上是增函数．
所以F(1+
)＞F(1)=-2．1 n
所以ln(1+
)+(1+1 n
)2-3(1+1 n
)＞-2．1 n
所以3(1+
)-(1+1 n
)2＜2+ln(1+1 n
)．1 n
即3an-
＜2+ln(1+a 2n
)． …（12分）1 n
所以3a1-
＜2+ln(1+1)，3a2-a 21
＜2+ln(1+a 22
)，3a3-1 2
＜2+ln(1+a 23
)，1 3
…3an-
＜2+ln(1+a 2n
)．1 n
所以3(a1+a2+…+an)-
-a 21
-…-a 22
=(3a1-a 2n
)+(3a2-a 21
)+…+(3an-a 22
)＜(2+lna 2n
)+(2+ln2 1
)+…+(2+ln3 2
)＜2n+ln（n+1）．n+1 n
故所证不等式成立． …（14分）