问题
解答题
已知函数f（x）=-x3+ax2-4，a∈R．
（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，求a的取值范围．
答案
（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x3+3x2-4，f¢（x）=-3x2+6x=-3x（x-2）．
当x变化时，f¢（x）、f（x）在区间的变化如下表：
| x | -1 | （-1，0） | 0 | （0，1） | 1 |
| f¢（x） | - | 0 | + | ||
| f（x） | 0 | ↘ | 极小值-4 | ↗ | -2 |
（Ⅱ）f¢（x）=-3x2+2ax=-3x（x-
）．2a 3
若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f¢（x）＜0，此时f（x）单调递减，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使题设成立的x0．
若a＞0，则当x∈（0，
）时，f¢（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x∈（2a 3
，+∞）时，f¢（x）＜0，此时f（x）单调递减．f（x）在（0，+∞）的最大值为f（2a 3
）=2a 3
-4．所以题设的x0存在当且仅当4a3 27
-4＞0，解得a＞3．4a3 27
综上，使题设成立的a的取值范围是（3，+∞）．