问题
解答题
设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=x-2；
（1）求证：函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1≥0，x2＞0），若直线PQ∥x轴，求P，Q两点间的最短距离．
答案
（1）证明：x≥0时，f'（x）=ex+cosx≥1+cosx≥0，
所以函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增；---------------------------（6分）
（2）因为f（x1）=g（x2），所以ex1+sinx1=x2-2---------------------（8分）
所以P，Q两点间的距离等于|x2-x1|=|ex1+sinx1-x1+2|，------（9分）
设h（x）=ex+sinx-x+2（x≥0），则h'（x）=ex+cosx-1（x≥0），
记l（x）=h'（x）=ex+cosx-1（x≥0），则l'（x）=ex-sinx≥1-sinx≥0，
所以h'（x）≥h'（0）=1＞0，------------------------------------（12分）
所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3------------（14分）
所以|x2-x1|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3．---------------（15分）
