已知函数f（x）=ax3+3x2-6ax-11，g（x）=3x2+6x+12，直线m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求函数f（x）=ax3+3x2-6ax-11在区间（-2，3）上的极值；
（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由；
（3）如果对于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．
（1）f'（x）=3ax2+6x-6a，由f'（-1）=0，即3a-6-6a=0，得a=-2．（2分）
∴f（x）=-2x3+3x2+12x-11．令f'（x）=-6x2+6x+12=0，解得x=-1或x=2
当x变化时，f'（x），f（x）在区间（-2，3）上的变化情况如下表：
| x | （-2，-1） | -1 | （-1，2） | 2 | （2，3） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | 单调递减 | -18 | 单调递增 | 9 | 单调递减 |
（2）∵直线m恒过点（0，9）．
先求直线m是y=g（x） 的切线．设切点为(x0，3
+6x0+12)，x 20
∵g'（x0）=6x0+6．
∴切线方程为y-(3
+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)，将点（0，9）代入得x0=±1．x 20
当x0=-1时，切线方程为y=9； 当x0=1时，切线方程为y=12x+9．（6分）
由f'（x）=0得-6x2+6x+12=0，即有x=-1，x=2
当x=-1时，y=f（x）的切线y=-18，
当x=2时，y=f（x）的切线方程为y=9，
∴y=9是公切线，（7分）
又由f'（x）=12得-6x2+6x+12=12
∴x=0或x=1，
当x=0时y=f（x）的切线为y=12x-11；
当x=1时y=f（x）的切线为y=12x-10，
∴y=12x+9不是公切线．（8分）
综上所述 k=0时y=9是两曲线的公切线．（9分）
（3）①由kx+9≤g（x）得kx≤3x2+6x+3，当x=0时，不等式恒成立，k∈R；
当-2≤x＜0时，不等式为k≥3(x+
)+6，而3(x+1 x
)+6=-3[(-x)+1 x
]+6≤-3•2+6=01 (-x)
∴k≥0
当x＞0时，不等式为k≤3(x+
)+61 x
∵3(x+
)+6≥121 x
∴k≤12
∴当x≥-2时，kx+9≤g（x）恒成立，则0≤k≤12．（11分）
②由f（x）≤kx+9得
当x=0时，9≥-11恒成立，k∈R；当-2≤x＜0时，有k≤-2x2+3x+12-
，20 x
设h（x）=-2x2+3x+12-
=-2(x-20 x
)2+3 4
-105 8
，20 x
当-2≤x＜0时-2(x-
)2+3 4
为增函数，-105 8
也为增函数，所以h（x）≥h（-2）=820 x
故要使f（x）≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立，（12分）
由上述过程只要考虑0≤k≤8，则当x＞0时f'（x）=-6x2+16x+12=-6（x+1）（x-2）
在x∈（0，2]时f'（x）＞0，在（2，+∞）时f'（x）＜0，
所以f（x）在x=2时有极大值，即f（x）在上的最大值，又f（2）=9，即f（x）≤9
而当x＞0，k≥0时，f（x）≤kx+9一定成立．
综上所述0≤k≤8．（14分）