设z=x+yi，x、y∈R，由于

z

z-1

=

x+yi

x-1+yi

=

(x+yi)(x-1-yi)

(x-1+yi)(x-1-yi)

=

x2+y2-x

(x-1)2+y2

+

y

(x-1)2+y2

i 是纯虚数，

故有

x2+y2-x=0 y≠0

，即 (x-

1

2

)2+y²=

1

4

 （y≠0），表示以C（

1

2

，0）为圆心，以r=

1

2

为半径的圆上（除去圆与x轴的2个交点）．

而|z+i|表示圆上的点与点A（0，-1）之间的距离，求得AC=

1 4 +1

=

5

2

，

故|z+i|的最大值为AC+r=

1+ 5

2

．