问题
解答题
设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（O为坐标原点），点P到定点M(0，
（1）求点P的轨迹方程； （2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|=2
（3）设点P的轨迹曲线为C，点Q（x0，y0）（x0≤1）是曲线C上的一点，求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围． |
答案
（1）过P作x轴垂线且垂足为N，由题意可知|PM|-|PN|=1 2
而y≥0，∴|PN|=y，∴
=y+x2+(y-
)21 2 1 2
化简得x2=2y（y≥0）为所求的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，y=kx+1 x2=2y
得x2-2kx-2=0，
∴x1+x2=2k，
x1x2=-2|AB|=1+k2
=(x1+x2)2-4x1x2 1+k2
=24k2+8
，6
∴k4+3k2-4=0，
而k2≥0，
∴k2=1，
∴k=±1．
（3）因为Q（x0，y0）在曲线C上，
∴x02=2y0，
∴切点Q(x0，1 2
)．x 20
又y=
x2求导得y'=x，1 2
∴切线斜率k=x0
则切线方程为y-1 2
=x0(x-x0)，x 20
即2x0x-2y-x02=0为所求切线方程，
又x0≤1，
∴切线斜率k≤1，
∴倾斜角取值范围为[0，
]∪(π 4
，π)．π 2