问题
解答题
设n为正整数，规定：fn(x)=
（1）解不等式：f（x）≤x； （2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x； （3）探求f2009(
（4）若集合B={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素． |
答案
（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥
．2 3
∴
≤x≤1．2 3
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|
≤x≤2}．2 3
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f3（x）=x．
（3）f1(
)=2(1-8 9
)=8 9
，2 9
f2(
)=f(f(8 9
))=f(8 9
)=2 9
，14 9
f3(
)=f(f2(8 9
))=f(8 9
)=14 9
-1=14 9
，5 9
f4(
)=f(f3(8 9
))=f(8 9
)=2(1-5 9
)=5 9
，8 9
一般地，f4k+r(
)=fr(8 9
)（k，r∈N）．8 9
∴f2008(
)=f0(8 9
)=8 9 8 9
（4）由（1）知，f（
）=2 3
，∴fn（2 3
）=2 3
，则f12（2 3
）=2 3
，∴2 3
∈B．2 3
由（2）知，对x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，则0、1、2∈B．
由（3）知，对x=
、8 9
、2 9
、14 9
，恒有f12（x）=x，∴5 9
、8 9
、2 9
、14 9
∈B．5 9
综上所述
、0、1、2、2 3
、8 9
、2 9
、14 9
∈B．5 9
∴B中至少含有8个元素．
