问题 解答题
已知函数f(x)=mx3-x+
1
3
,以点N(2,n)为切点的该图象的切线的斜率为3
(I)求m,n的值
(II)已知g(x)=-
a+1
2
x2+(a+1)x(a>0)
,若F(x)=f(x)+g(x)在[0,2]上有最大值 1,试求实数a的取值范围.
答案

(I)f′(x)=3mx2-1,

由题意得f′(2)=12m-1=3,解得m=

1
3

所以f(x)=

1
3
x3-x+
1
3

所以n=f(2)=1;

(II)因为F(x)=f(x)+g(x)=

1
3
x3-
a+1
2
x2+ax+
1
3

所以F′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),令F′(x)=0得x=1或x=a,

当0<a<1时,令F′(x)>0得0<x<a,或1<x<2,令F′(x)<0得a<x<1,

因为F(x)在[0,2]上有最大值 1,F(2)=1,所以F(a)≤1,即a3-3a2+4≥0,

令g(a)=a3-3a2+4,则g′(a)=3a2-6a=3a(a-2),所以g′(a)<0,

所以g(a)>g(1)=0,所以0<a<1;

当a=1时,F′(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,F(x)≤F(2)=1成立;

当1<a<2时,令F′(x)>0得0<x<1或a<x<2,令F′(x)<0得1<x<a,F(2)=1,

因为F(x)在[0,2]上有最大值 1,所以F(1)≤1,即

1
3
-
a+1
2
+a+
1
3
≤1,解得a
5
3
,所以1<a
5
3

当a≥2时,由F(x)的单调性知F(x)max=F(1)>F(2),故不成立;

综上,实数a的范围是0<a

5
3

单项选择题 案例分析题

2008年,初步核算,全年国内生产总值300670亿元,比上年增长9.0%。分季度看,一季度增长10.6%,二季度增长10.1%,三季度增长9.0%,四季度增长6.8%。分产业看,第一产业增加值34000亿元,增长5.5%;第二产业增加值146183亿元,增长9.3%;第三产业增加值120487亿元,增长9.5%。全年规模以上工业增加值比上年增长12.9%,增速比上年回落5.6个百分点,东、中、西部地区分别增长11.6%、15.8%和15.0%。全年全社会固定资产投资172291亿元,比上年增加25.5%,增速比上年加快0.7个百分点。其中,城镇固定资产投资148167亿元,增长26.1%,加快0.3个百分点;农村固定资产投资24124亿元,增长21.5%。在城镇投资中,第一产业投资2256亿元,增长54.5%;第二产业投资65036亿元,增长28.0%;第三产业投资80875亿元,增长24.1%。分地区看,东、中、西部地区城镇投资分别增长21.3%、33.5%和26.7%。全年房地产开发投资30580亿元,比上年增长20.9%。全年社会消费品零售总额108488亿元,比上年增长21.6%,增速比上年加快4.8个百分点。分城乡看,城市消费品零售额73735亿元,增长22.1%,加快4.9个百分点;县及县以下消费品零售额34753亿元,增长20.7%,加快4.9个百分点。分行业看,批发和零售业消费品零售额91199亿元,增长21.5%;住宿和餐饮业消费品零售额15404亿元,增长24.7%。

下列选项中,符合我国2008年全年生产总值增长情况的是()

A.A

B.B

C.C

D.D

多项选择题