问题 解答题
已知函数f(x)=mx3-x+
1
3
,以点N(2,n)为切点的该图象的切线的斜率为3
(I)求m,n的值
(II)已知g(x)=-
a+1
2
x2+(a+1)x(a>0)
,若F(x)=f(x)+g(x)在[0,2]上有最大值 1,试求实数a的取值范围.
答案

(I)f′(x)=3mx2-1,

由题意得f′(2)=12m-1=3,解得m=

1
3

所以f(x)=

1
3
x3-x+
1
3

所以n=f(2)=1;

(II)因为F(x)=f(x)+g(x)=

1
3
x3-
a+1
2
x2+ax+
1
3

所以F′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),令F′(x)=0得x=1或x=a,

当0<a<1时,令F′(x)>0得0<x<a,或1<x<2,令F′(x)<0得a<x<1,

因为F(x)在[0,2]上有最大值 1,F(2)=1,所以F(a)≤1,即a3-3a2+4≥0,

令g(a)=a3-3a2+4,则g′(a)=3a2-6a=3a(a-2),所以g′(a)<0,

所以g(a)>g(1)=0,所以0<a<1;

当a=1时,F′(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,F(x)≤F(2)=1成立;

当1<a<2时,令F′(x)>0得0<x<1或a<x<2,令F′(x)<0得1<x<a,F(2)=1,

因为F(x)在[0,2]上有最大值 1,所以F(1)≤1,即

1
3
-
a+1
2
+a+
1
3
≤1,解得a
5
3
,所以1<a
5
3

当a≥2时,由F(x)的单调性知F(x)max=F(1)>F(2),故不成立;

综上,实数a的范围是0<a

5
3

实验题

(20分)(I) 下图甲和乙是某学校王老师制备NH3 并进行性质实验时的改进装置。按图甲把仪器安装好,称取2g固体氯化铵装入试管底部,再快速称取2g氢氧化钠覆盖在氯化铵上方;立即用带有滴管的塞子塞紧(滴管预先吸入约2mL 浓氨水);烧杯内盛滴有酚酞试液的水:把浓氨水滴入试管里,可立即观察到试管内发生剧烈反应,有大量气泡.

将上述中收满NH3 的圆底烧瓶取下,改装成图乙所示的装置,胶头滴管内事先预吸入2mLH2O ,此时小气球系在玻璃棒上呈自然松驰状态;将滴管内的水慢慢滴入烧瓶中,轻轻晃动烧瓶,通过观察实验现象便可以验证NH3的某个性质。按要求回答下列问题:

(1)中学化学教材中是用与制O2相同的制备装置来加热制取NH3的,该化学方程式为:__________________________________________________________

(2)下面是某同学关于王老师能用图甲制取NH3的原因分析,有道理的是__________。

①在NH3 · H2O 中有平衡使平衡向左移动

②在NH3· H2O 中有平衡使平衡向左移动

③Na0H 溶于水时放热,使体系的温度升高,NH3的溶解度减小

④NH4Cl与NaOH 在此情况下可反应生成NH3

⑤NH4Cl 会分解释放出NH3

(3)图甲中的NH4Cl 与NaOH 固体混合物能否用CaO 固体代替    (填”能”与”不能”)

(4)如何判断图甲中烧瓶己收满NH3 ?_____________________________________________

(5)图乙中胶头滴管中的水挤入烧瓶后,观察到的现象是               它说明了NH3

                

(Ⅱ)如上图所示:在B槽中装有500 mL水,容积为a mL的试管A充满了NO2和NO的混合气体(标准状况),将试管A倒插入B槽的水中。充分反应后,试管A中余下气体的体积为0.5a mL,则原混合气体中NO2和NO的物质的量之比为                 

通过导气管C往余下0.5a mL气体的试管A中持续通入氧气,A中可能观察到的现象是:

___________________________________________________                                                          

有关反应的化学方程式为:___________________________________________

当试管A中充满气体时停止通入氧气,然后将试管取出水槽,则共通入氧气的体积为     ________mL,水槽B中溶液的物质的量浓度为       mol·L-1(设溶液的体积仍为500 mL)

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