问题 解答题
已知函数f(x)=mx3-x+
1
3
,以点N(2,n)为切点的该图象的切线的斜率为3
(I)求m,n的值
(II)已知g(x)=-
a+1
2
x2+(a+1)x(a>0)
,若F(x)=f(x)+g(x)在[0,2]上有最大值 1,试求实数a的取值范围.
答案

(I)f′(x)=3mx2-1,

由题意得f′(2)=12m-1=3,解得m=

1
3

所以f(x)=

1
3
x3-x+
1
3

所以n=f(2)=1;

(II)因为F(x)=f(x)+g(x)=

1
3
x3-
a+1
2
x2+ax+
1
3

所以F′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),令F′(x)=0得x=1或x=a,

当0<a<1时,令F′(x)>0得0<x<a,或1<x<2,令F′(x)<0得a<x<1,

因为F(x)在[0,2]上有最大值 1,F(2)=1,所以F(a)≤1,即a3-3a2+4≥0,

令g(a)=a3-3a2+4,则g′(a)=3a2-6a=3a(a-2),所以g′(a)<0,

所以g(a)>g(1)=0,所以0<a<1;

当a=1时,F′(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,F(x)≤F(2)=1成立;

当1<a<2时,令F′(x)>0得0<x<1或a<x<2,令F′(x)<0得1<x<a,F(2)=1,

因为F(x)在[0,2]上有最大值 1,所以F(1)≤1,即

1
3
-
a+1
2
+a+
1
3
≤1,解得a
5
3
,所以1<a
5
3

当a≥2时,由F(x)的单调性知F(x)max=F(1)>F(2),故不成立;

综上,实数a的范围是0<a

5
3

完形填空
单项选择题