问题
解答题
已知函数f(x)=mx3-x+
(I)求m,n的值 (II)已知g(x)=-
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答案
(I)f′(x)=3mx2-1,
由题意得f′(2)=12m-1=3,解得m=
,1 3
所以f(x)=
x3-x+1 3
,1 3
所以n=f(2)=1;
(II)因为F(x)=f(x)+g(x)=
x3-1 3
x2+ax+a+1 2
,1 3
所以F′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),令F′(x)=0得x=1或x=a,
当0<a<1时,令F′(x)>0得0<x<a,或1<x<2,令F′(x)<0得a<x<1,
因为F(x)在[0,2]上有最大值 1,F(2)=1,所以F(a)≤1,即a3-3a2+4≥0,
令g(a)=a3-3a2+4,则g′(a)=3a2-6a=3a(a-2),所以g′(a)<0,
所以g(a)>g(1)=0,所以0<a<1;
当a=1时,F′(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,F(x)≤F(2)=1成立;
当1<a<2时,令F′(x)>0得0<x<1或a<x<2,令F′(x)<0得1<x<a,F(2)=1,
因为F(x)在[0,2]上有最大值 1,所以F(1)≤1,即
-1 3
+a+a+1 2
≤1,解得a≤1 3
,所以1<a≤5 3
;5 3
当a≥2时,由F(x)的单调性知F(x)max=F(1)>F(2),故不成立;
综上,实数a的范围是0<a≤
.5 3