（Ⅰ）设直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀），

∵f'（x）=x²-2x+2，∴x02-2x0+2=5，解得x₀=-1或x₀=3，

当x₀=-1时，y₀=-1，∵P（-1，-1）在曲线C上，∴m=

7

3

，

当x₀=3时，y₀=19，∵P（3，19）在曲线C上，∴m=13，

∴切点P（-1，-1），m=

7

3

，

切点P（3，19），m=13．       

（Ⅱ）解法一：∵m∈Z，∴m=13，

设h(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+36，

若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，则只要h（x）_min≤0，

h'（x）=x²-2（1+a）x=x[x-2（1+a）]，

（ⅰ）若1+a≥0即a≥-1，令h'（x）＞0，得x＞2（1+a）或x＜0，

∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（2（1+a），+∞）上是增函数，

令h'（x）≤0，解得0≤x≤2（1+a），

∴h（x）在[0，2（1+a）]上是减函数，∴h（x）_min=h（2（1+a）），

令h（2（1+a））≤0，解得a≥2，

（ⅱ）若1+a＜0即a＜-1，令h'（x）＞0，解得x＜2（1+a）或x＞0，

∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴h（x）_min=h（0），

令h（0）≤0，不等式无解，∴a不存在，

综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a的取值范围为[2，+∞）．

解法二：由f（x）≤g（x）得ax2≥

1

3

x3-x2+36，

（ⅰ）当x≠0时，a≥

1

3

x+

36

x2

-1，设h(x)=

1

3

x+

36

x2

-1

若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，则只要h（x）_min≤a，

h′(x)=

1

3

-

72

x3

=

x3-63

3x3

，

令h'（x）≥0解得x≥6，∴h（x）在[6+∞）上是增函数，

令h'（x）＜0，解得0＜x＜6，∴h（x）在（0，6）上是减函数，

∴h（x）_min=h（6）=2，∴a≥2，

（ⅱ）当x=0时，不等式ax2≥

1

3

x3-x2+36不成立，

∴a不存在，

综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a的取值范围为[2，+∞）．