若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2

问题解答题

若a₁≤a₂≤…≤a_n，而b₁≥b₂≥…≥b_n或a₁≥a₂≥…≥a_n而b₁≤b₂≤…≤b_n，证明：

a1b1+a2b2+…+anbn

≤（

a1+a2+…+an

）•（

b1+b2+…+bn

）．当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号成立．

答案

证明　不妨设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≥b₂≥…≥b_n．

则由排序原理得：

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b₂+a₂b₃+…+a_nb₁

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b₃+a₂b₄+…+a_n-1b₁+a_nb₂

…

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤a₁b_n+a₂b₁+…+a_nb_n-1．

将上述n个式子相加，得：n（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）

≤（a₁+a₂+…+a_n）（b₁+b₂+…+b_n）

上式两边除以n²，得：

a1b1+a2b2+…+anbn

≤(

a1+a2+…+an

)(

b1+b2+…+bn

)

等号当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时成立．