问题
解答题
已知函数f（x）=lnx，g（x）=
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围； （II）若a=2，b=1，若函数k=g（x）-2f（x）-x2在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围； （III）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于M、N两点，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由． |
答案
（I）h（x）=lnx+x2-bx，且函数的定义域为（0，+∞）
∴依题知h′(x)=
+2x-b≥0对（0，+∞）恒成立，1 x
∴b≤
+2x1 x
∵x＞0，
∴b≤22
（II）函数k（x）=g（x）-2f（x）-x2在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程
x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根．
令m（x）=x-2lnx，
∴m′(x)=1-2 x
∴m（x）在[1，2]上单减，在（2，3]上单增，
m（x）的最小值是2-2ln2
故2-2lnx＜k＜3-2ln3
（III）设点P（x1，y1）Q（x2，y2）
则PQ的中点R的横坐标x1+x2 2
C1在点M处的切线的斜率为k1=2 x1+x2
C2在点N处的切线的斜率为k2=
+bx1+x2 2
假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则斜率相等
即ln
=x2 x1 2(
-1)x2 x1 1+ x2 x1
设u=
＞1x2 x1
则lnu=
①2(u-1) 1+u
令r（u）=lnu-
（u＞1）2(u-1) 1+u
则r′(u)=(u-1)2 u(1+u)2
∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞
②2(u-1) u+1
∵①与②矛盾，
∴假设不成立，故C1点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．