（1）∵f（x）=x³-

9

2

x²+6x+m²，

∴f′（x）=3x²-9x+6，

∴切线的斜率k=f′（0）=6，又切点（0，m²），

根据点斜式，可得斜线的方程为y-m²=6x，即y=6x+m²，

∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线过点（-1，2），

∴2=6×（-1）+m²，

∴m=±2

2

．

（2）∵∃x∈[0，3]，f（x）≤m，则等价于x3-

9

2

x2+6x≤m-m²在[0，3]有解，

令g（x）=x3-

9

2

x2+6x，

∴x3-

9

2

x2+6x≤m-m²在[0，3]有解，即g（x）_min≤m-m²，

以下求g（x）在[0，3]的最小值，

令g′（x）=3x²-9x+6=0，解得x=1或x=2，

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）单调递增，

当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，即g（x）在（1，2）单调递减，

当x∈（2，3）时，g′（x）＞0，即g（x）在（2，3）单调递增，

∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2，

又∵g（0）=0，g（3）=

9

2

，

∴g（x）_min=0，

∴0≤m-m²，解得0≤m≤1，

∴m的取值范围为[0，1]．