（1）x∈(0，e)时，f(x)=x2+2(1-lnx)，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，

令f′（x）＞0得x∈（1，e）；f′（x）＜0得x∈（0，1）．

∴f′（x）在（0，1]上单减，在[1，e）上单增；

x∈[e，+∞)时，f(x)=x2+2(lnx-1)，f′(x)=2x+

2

x

＞0对x∈[e，+∞)恒成立．

∴f（x）在[e，+∞）单调递增．

故f（x）_min=f（1）=3．

（2）由lnx≥

2(x-1)

x+1

=2-

4

x+1

⇔lnx+

4

x+1

≥2

令g(x)=lnx+

4

x+1

(x≥1)，

则g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，

因为x≥1，显然g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）上递增，

显然有g（x）≥g（1）=2恒成立．（当且仅当x=1时等号成立），即证．

（3）当x≥e时，f（x）=x²+2（lnx-1），f′(x)=2x+

2

x

，假设函数f（x）存在“中值伴侣切线”．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，

则y1=x12+2(lnx1-1)，y2=x22+2(lnx2-1)．

故直线AB的斜率：kAB=

y1-y2

x1-x2

=

[x12+2(lnx1-1)]-[x22+2(lnx2-1)]

x1-x2

=(x1+x2)+2•

lnx1-lnx2

x1-x2

．

曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率：

k=f′（x₀）=f′(

x1+x2

2

)=(x1+x2)+

4

x1+x2

．

依题意得：(x1+x2)+2•

lnx1-lnx2

x1-x2

=(x1+x2)+

4

x1+x2

化简可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．

设

x2

x1

=t(t＞1)，上式化为由lnt=

2(t-1)

t+1

，由（2）知t＞1时，lnt+

4

t+1

＞2恒成立．

所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．

综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值伴侣切线”．