二次函数f（x）=ax²+bx必过原点，由f（2）≥0得，4a+2b≥0，

当a＞0时，-

b

2a

≤1，对应的抛物线开口向上，可推得函数f（x）在（1，+∞）单调递增，

但，当a＜0时，-

b

2a

≤1，对应的抛物线开口向下，可推得函数f（x）在（1，+∞）单调递减．

故不能由f（2）≥0，推得函数f（x）在（1，+∞）单调递增．

反之，若函数f（x）在（1，+∞）单调递增，则必有a＞0，

由数形结合可知，对称轴x=-

b

2a

≤1，即可得-b≤2a，即4a+2b≥0，即f（2）≥0，

故由充要条件的定义可知，f（2）≥0是函数f（x）在（1，+∞）单调递增的必要不充分条件．

故选C．